转载：线性回归与梯度下降法

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前言

　　这篇文章的关注点在于线性回归问题，重点是求解线性回归问题的梯度下降法(Gradient Descent)，之前在学习感知机模型的时候，使用过这个算法，并且还实现了它。可是那只是仅仅停留在使用的层面上，这次是要充分理解梯度下降法的原理及其计算方法。

线性回归问题

　　从数学上说，回归问题其实就是函数拟合问题:给定一些点的集合，然后用一个曲线或方程去拟合，使得集合中的所有点都大致符合给出的曲线或方程。当拟合的曲线是一条直线的时候，就称为是线性回归问题。

　　回归问题的意义在于，它使得我们能够在已知数据的基础上对未知数据进行预测:通过对已知数据进行回归分析，得到一个曲线，我们就能够利用这个曲线对未知的数据进行很好的预测。其实，我们在初高中就遇到过这种问题了，只是我们当时被没有意识到这是一个回归问题。

　　例如给定两个点\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\),求过这两个点的直线。当然，现在我们的问题复杂得多，而且不仅仅局限在二维平面，很多时候都是处理高维数据。

　　举个例子，现在我们有如下的数据:

Living area bedrooms Price
2104 3 400
1600 3 330
2400 3 369
1416 2 232
3000 4 540

　　现在的问题是，给定一个组新的Living area 和 bedrooms数据，能否预测正确的Price是多少？这里的数据是三维的，但是更多时候是多维的，影响房价的因素还包括很多，如有浴室的数目、有没有壁炉等。这里的输入是Living area和beadrooms，输出则是Price。

　　在统计机器学习中，影响输出的因素被称为是特征(features)，输入数据称为训练集(training set)或训练数据(training data)，训练数据的维度称为特征的个数。

　　因为我们的重点是线性回归问题，所以这里我们简单地假设能够拟合的方程是:

\[\begin{equation} h_\theta(x)=\theta_0 + \theta_1x_1+\theta_2x_2 \end{equation}\]

　　这里\(\theta_i\)称为参数(也称作是权重)，这里的变量是\(x_1\)和\(x_2\)，在我们的例子中分别代表Living area和bedrooms，\(h_\theta(x)\)就是输出值，这里是就是Price。现在任务很明确，就是根据已知的数据计算出相应的\(\theta_i\)参数。整个过程可以用下图表示:

　　上图是整个统计机器学习的流程，不仅仅局限于回归问题。

　　为了一般化我们的公式，可以引入一个常量\(x_0=1\)，这样我们的公式就可以表示为:

\[ \begin{equation} h_{\theta}(x_{n\times 1})=\sum_{i=0}^{n}\theta_ix_i=\theta_{n\times 1}^{T}x_{n\times 1}\label{origin} \end{equation} \]

　　注意，这里有几个贯穿全文的约定:

  • \(n\)代表的是特征的个数，也就是输入数据的维度
  • \(m\)代表的是训练数据的数目
  • \(x^{(i)}\)代表第i个训练数据
  • \(x_{i}\)代表第i个特征
  • 因为后面有很多公式都是向量的或矩阵的运算，为了区别开来，我会在所有表示向量或矩阵的变量的下标中注明维度。如果没有下表，则表示一个实数。

　　现在我们已经有了一个假设的函数了，那么我们该如何衡量这个函数的好坏呢？这就要引入损失函数(cost function)，这个函数用来衡量我们的预测值和真实值之间的差距。它是这样定义的:

\[\begin{equation} J(\theta_{n\times 1}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m(h_\theta(x_{n\times 1}^{(i)})-y^{(i)})^2 \end{equation}\]

　　这个函数很好理解，它是关于参数\(\theta_{n\times 1}\)的函数，直观上就是(预测值-真实值)的平方，然后对每一组训练数据进行累加，用这个累加和来衡量我们学习到的函数\(\eqref{origin}\)。这里的\(\displaystyle \frac{1}{2}\)其实并不是必须的，只是为了简化后面的推导而人为的乘上一个系数，这对结果不影响。如果搞过数模的话，就知道，这其实就是最小二乘法的思想。

梯度下降法

　　现在我们的问题就转化为一个求最小值的问题了:

\[\begin{align} & J(\theta_{n\times 1}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m(h_\theta(x_{n\times 1}^{(i)})-y^{(i)})^2 \\ & \min_{\theta}J_{\theta} \end{align}\]

　　如何求解这个问题呢？这里我们就要引入最小梯度法了。还记得当年学高数，在学到梯度的时候，记得老师曾经说过，负梯度方向是函数下降最快的方向。最小梯度法就是利用这个性质。具体的思路是:

  1. 对\(\theta_{n\times 1}\)进行赋值，这个值可以是随机的，但通常都赋值为一个全零的向量。
  2. 不停迭代，每次迭代都改变\(\theta_{n\times 1}\)，使得\(J(\theta_{n\times 1})\)按梯度下降的方向进行减少。

　　上面的比较数学化的说法，其实比较直观的说法是这样的:想象你站在一座高山上，你想要用最短的时间下山，但是你每次只能走一步。那你需要做的就是查看你周围360度的范围，找到一个最陡峭的(下降的最快的)方向，然后转移到那个点上；转移到新的位置之后，重复相应的步骤，环顾360度，找到最陡峭的(下降的最快的)方向，然后转移过去，这样每次都是选择最陡峭的方向走，那么很快就能到达山下了。

　　这就是梯度下降法的基本思路，其中对陡峭的方向就是负梯度的方向。

　　为了更加易于理解，给出下图:

　　我们\(\theta_{n\times 1}\)按照梯度下降的方向进行调整，就会使得\(J(\theta_{n\times 1})\)往更低的方向进行变化，如上图所示，算法的结束将是在\(\theta_{n\times 1}\)下降到无法继续下降为止。

　　其中，梯度方向由\(J(\theta)\)对\(\theta\)的偏导数确定。用公式来表达就是:

\[ \begin{equation} \theta_j = \theta_j - \alpha\frac{\partial}{\partial\theta_{j}}J(\theta_{n\times 1}) \end{equation} \]

　　其中\(\alpha\)称为学习率(learning rate)，直观的意义是，在函数向极小值方向前进时每步所走的步长。太大一般会错过极小值，太小会导致迭代次数过多。

　　具体的梯度方向是(此处为了方便计算，假设只有一组数据):

\[ \begin{split} \frac{\partial}{\partial\theta_j}J(\theta_{n\times1})&=\frac{\partial}{\partial\theta_j}\frac{1}{2}(h_{\theta}(x_{n\times 1})-y)^2\\ &=2 \cdot \frac{1}{2}(h_{\theta}(x_{n\times 1})-y)\cdot\frac{\partial}{\partial\theta_j}(h_{\theta}(x_{n\times 1})-y)\\ &=(h_{\theta}(x_{n\times 1})-y)\cdot\frac{\partial}{\partial\theta_j}\left(\sum_{i=0}^n\theta_ix_i-y\right)\\ &=(h_{\theta}(x_{n\times 1})-y)x_j \end{split} \]

　　上面式子中的\(j\)表示的是第\(j\)个特征。从这个推导过程就可以知道，当初我们为什么要在公式前乘上\(\frac{1}{2}\)了。

　　这样，对于每一组训练数据，每一个特征分量\(\theta_j\)的变化是这样的(注意:此时括号中的符号改变了，因为是负梯度的方法向):

\[\begin{equation} \theta_j=\theta_j+\alpha\left(y^{(i)}-h_{\theta}(x_{n\times 1}^{(i)})\right)x_j^{(i)} \label{1} \end{equation}\]

批梯度下降法(bath gradient descent)

　　在得到上面的公式之后，我们的算法也就形成了:

　　上述算法中的式子是针对所有的训练数据的，这是从公式\(\ref{1}\)变化而来，只是加入了一个累加的过程，此处不再证明。从公式中可以看到，每次迭代的时候，该算法都会遍历整个训练数据集，这个就被称为批梯度下降法(batch gradient descent)。需要注意的是，此处的梯度下降法是只能找到局部最优解，而非全局最优解。它有以下两个特点:

  1. 得到的结果是局部最优解，这依赖于初始值
  2. 每次迭代它的梯度大小都在变化，且越来越趋近于0

随机梯度下降法(stochastic gradient descent)

　　在利用批梯度下降法(bath gradient descent)进行计算的时候，你会发现，每计算一个参数分量，都需要遍历整个训练数据集，这样做的效率明显不高，因此我们有一个替代的算法：

　　可以看到，这个算法每次都只利用了一组数据进行计算，这样就大大减少了计算量。这个算法称为随机梯度下降法(stochastic gradient descent)。但是，带来的相应后果就是，它最终得到的解可能是在真正的最小值的附近，而不是最小值本身。因此只有在数据量很大的情况下才会使用这个算法。

参考文献及推荐阅读

本文来自：线性回归与梯度下降法